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Aggiornato il 24/05/99.

SOMMARIO


In questa pagina vengono usati dei segni per indicare alcune operazioni matematiche :

Simbolo Funzione
+ somma
- sottrazione
* moltiplicazione
/ divisione
^ elevamento a potenza
= uguale

Inoltre vengono usate delle scritture a polinomio , ovvero una rappresentazione di un numero come risultato di una sequenza di operazioni aritmetiche , che sono svolte con la prioritá usuale , ovvero prima elevamenti a potenza , poi moltiplicazioni e divisioni , quindi somme e sottrazioni . Per cui , ad es. , la scrittura 25*2^2+5 da come risultato 500 .

Decimali e Binari

Correntemente noi utilizziamo una matematica basata sul 10 e rappresentata dalle 10 cifre arabe . Esistono peró molteplici altre forme di numerazione , basate sull' impiego di cifre diverse (ad es. le cifre romane o cinesi) o su basi differenti da 10 . La tabella seguente riporta alcuni esempi :

Decimale Binario Ottale Esadecimale In cifre romane
0 0 0 0 non usato
1 1 1 1 I
2 10 2 2 II
3 11 3 3 III
4 100 4 4 IV
5 101 5 5 V
6 110 6 6 VI
7 111 7 7 VII
8 1000 10 8 VII
9 1001 11 9 IX
10 1010 11 A X
11 1011 13 B XI
12 1100 14 C XII
13 1101 15 D XIII
14 1110 16 E XIV
15 1111 17 F XV
16 10000 20 10 XVI
17 10001 21 11 XVII

Innanzitutto occorre distinguere tra numero e cifra : abitualmente utilizziamo le due parole come sinonimo , ma in effetti hanno diverso significato : numero é il valore , cifra é il segno grafico con cui rappresentiamo il valore . Ad es. 12 , 1011 , 14 , C e XII rappresentano la stessa quantitá in 5 modi simbolici differenti .
Inoltre , ricordando quanto imparato alle elementari , il sistema romano era un sistema non posizionale , ma addizionale , ovvero ogni cifra ha il suo valore indipendentemente dalla posizione : ad es. I ha valore di 1 sia come seconda cifra di VI (V+I = 5+1=6) , che nella scrittura VII (V+I+I=5+1+1=7) ; anche in deduzione , ad es. per IX (X-I=10-1=9) il valore é uguale ; qualunque sia la posizione della cifra nel numero , il suo valore é sempre uguale . Chiaramente questo sistema é macchinoso e poco pratico per grandi numeri (gli stessi romani se ne resero conto ideando simboli a parte per 50 , 100 , 1000 , ecc.) ed improponibile anche solo  per le operazioni piú complesse di una somma , come moltiplicazioni , divisioni , ecc. . Ma nella mentalità europea antica , prima di tutto in quella greca , il numero aveva la funzione di esprimere in modo diverso entità geometriche , rappresentabili piú esattamente per altre vie e nell' uso quotidiano la matematica si riduceva alla somma ( o alla sottrazione) .
Giá nel passato , peró , diverse civiltà hanno utilizzato sistemi differenti , detti posizionali ed alcuni , astraendo i numeri dalla geometria , hanno inventato il concetto dello zero , che a noi arriva dai matematici indiani attraverso gli arabi , definendo le basi del nostro sistema decimale attuale .
Questo modo di contare si basa sul fatto di considerare le cifre componenti un numero non come valori assoluti , ma come indicatori che acquistano un valore specifico in base alla posizione (sistema posizionale) . Per esemplificare , nella scrittura romana III , I al 1 o al secondo o al terzo posto vale sempre 1 , mentre se scriviamo in decimale 111 ,   la prima  cifra 1 a sinistra vale 100 , mentre al secondo vale 10 ed al terso vale 1 ; uno spostamento verso sinistra aumenta il valore di 10 volte e pertanto il sistema si dice decimale . (Al contrario , uno spostamento verso destra riduce di 10 volte .)
I sistemi ottale , esadecimale e binario hanno lo stesso funzionamento di quello decimale , solamente la posizione vale rispettivamente 8 , 16 e 2 , invece che dieci .

Il sistema binario é basato su due sole cifre , ovvero 0 e 1 ed estremamente adatto a rappresentare le situazioni dei circuiti elettrici (conduce/non conduce) o elettronici e per sviluppare un' algebra binaria (di Boole) ideale per la descrizione di flussi logici decisionali . Ovviamente , essendo presenti due sole cifre , il numero delle cifre necessarie per indicare un numero sale vertiginosamente , rendendo poco pratica e poco comprensibile la scrittura di numeri binari estesi .
Per ovviare a questo si sono sviluppati sistemi con basi differenti , ad es. l' ottale , che usa cifre da 0 a 7 e l' esadecimale , che usa 16 cifre , ovvero le 10 arabe piú le lettere da A a F . In questo ultimo caso , dato il maggior numero di cifre , numeri grandi potranno essere rappresentati con un quantitativo limitato di segni grafici . Da osservare che sia il sistema ottale che l'esadecimale sono basati su multipli di 2 (8=2^3 e 16=2^4) e quindi adatti a rappresentare situazioni "binarie" condensate .
I numeri esadecimali sono identificati dalle sigle H oppure hex (ad es. 123H o h45C11 o 21D hex) e sono quelli piú usati nella tecnica del computer , perché adatti a rappresentare i gruppi di linee binarie su cui lavora l' hardware del PC  (byte , word , ecc.)
Per riassumere :

La tabella seguente da alcuni esempi di come sono leggibili i numeri nei vari sistemi ; i numeri sono convertiti nei polinomi equivalenti per mostrarne la composizione :

Decimale Esadecimale Ottale Binario
123 decimale =
1*10^2 +1*10^1 + 1*10^0
= 1*100+2*10+3*1
123H esadecimale =
1*16^2 +2*16^1 + 3*16^0
=1* 256+2*16+3*1
= 291 in decimale
123 ottale =
1*8^2 + 2*8^1 + 3*8^0
= 1*64+2*8+3*1
= 83 in decimale
 
256 decimale =
2*10^2 +5*10^1 + 6*10^0
= 2*100+5*10+6*1
100H esadecimale =
1*16^2 +0*16^1 + 0*16^0
= 1*256+0*16+0*1
= 256 in decimale
400 ottale =
4*8^2 + 0*8^1 + 0*8^0
= 4*64+0*8+0*1
= 256 in decimale
100000000 binario
= 256 decimale
999 decimale =
9*10^2 +9*10^1 +9*10^0
= 9*100+9*10+9*1
999H esadecimale =
9*16^2 +9*16^1 +9*16^0
= 9*256+9*16+9*1
= 2457 in decimale
999 ottale =
9*8^2 +9*8^1 + 9*8^0
= 9*64+9*8+9*1
= 657 in decimale
 
999 decimale =
9*10^2 +9*10^1 +9*10^0
= 9*100+9*10+9*1
3E7H esadecimale =
3*16^2 +14*16^1 +7*16^0
= 3*256+14*16+7*1
= 999 in decimale
1739 ottale =
1*8^3 +7*8^2 +3*8^1+7*16^0
=1*512+7*64+3*16+7*1
= 999 in decimale
1111110111 binario
= 999 in decimale

Per quanto riguarda i numeri binari , ecco i polinomi relativi agli esempi della tabella :

Ovviamente sono possibili infinite numerazioni usando una qualunque base , ad es. 7 o 99 , ma non hanno particolari applicazioni pratiche .
Per comodità , la tabella seguente riporta le potenze di 2 da 0 a 40 , l' equivalente decimale e la forma in cui comunemente sono utilizzate .

Potenze di 2 ed equivalente decimale
n 2^n Forma comune in bytes
0 1 1 byte
1 2 2 bytes
2 4 4 bytes
3 8 8 bytes
4 16 16 bytes
5 32 32 bytes
6 64 64 bytes
7 128 128 bytes
8 256 256 bytes
9 512 512 bytes (1/2 kB)
10 1,024 1 KB
11 2,048 2 KB
12 4,096 4 KB
13 8,192 8 KB
14 16,384 16 KB
15 32,768 32 KB
16 65,536 64 KB
17 131,072 128 KB
18 262,144 256 KB
19 524,288 512 KB (1/2 MB)
20 1,048,576 1 MB
21 2,097,152 2 MB
22 4,194,304 4 MB
23 8,388,608 8 MB
24 16,777,216 16 MB
25 33,554,432 32 MB
26 67,108,864 64 MB
27 134,217,728 128 MB
28 268,435,456 256 MB
29 536,870,912 512 MB (1/2 GB)
30 1,073,741,824 1 GB
31 2,147,483,648 2 GB
32 4,294,967,296 4 GB
33 8,589,934,592 8 GB
34 17,179,869,184 16 GB
35 34,359,738,368 32 GB
36 68,719,476,736 64 GB
37 137,438,953,472 128 GB
38 274,877,906,944 256 GB
39 549,755,813,888 512 GB (1/2 TB)
40 1,099,511,627,776 1 TB

 

"Equivalenze" tra multipli decimali e binari

I valori espressi con i prefissi di moltiplicazione sono validi , ovviamente , anche per sistemi numerici su basi diverse da dieci , come ad es. i numeri binari , in base 2 . Attenzione , peró : sono state adottate definizioni uguali , ma che conducono ad un risultato leggermente differente , dovuto alla diversa base numerica . Quindi , il valore indicato NON é lo stesso in decimale ed in binario ; non si tratta di una equivalenza intesa come uguaglianza numerica , ma di un modo per indicare con immediatezza la dimensione della quantitá in base binaria , non di uso comune , usando come riferimento quella decimale , di uso piú comune e quindi piú comprensibile . Quindi un megabyte in decimale sará leggermente minore dello stesso in binario ; inoltre , mentre i valori decimali sono multipli tra di loro in rapporti di 10 (ovvero 1M=1000k) , nel caso dei numeri binari il rapporto é in base alle potenze di 2 (quindi 1M non é 1000 volte un k) . Questa situazione puó generare confusione nell' Utente quando , su un PC le indicazioni dei costruttori utilizzano per uno stesso oggetto i moltiplicatori sia per numerazioni decimali che binarie senza precisare quale sia usato . Pertanto é comprensibile perché tra il BIOS , il sistema operativo e un tools di check del sistema ci siano differenze nell' indicazione della stessa quantitá di memoria ; lo stesso fenomeno si rileva nella capacita degli hard disk . Prima di lanciarvi in discussioni , verificate se i conteggi in kbyte o megabyte intesi come binari o come decimali !
La tabella seguente indica l' "equivalenza" dei moltiplicatori ; da osservare che in questo caso si tratta solo di multipli , perché i sottomultipli non avrebbero senso . Inoltre é indicata la differenza percentuale tra il valore binario e quello decimale .

"Equivalenze" tra multipli decimali e binari
Nome Abbr. Potenza in Binario Valore binario Potenza in Decimale Valore decimale Differenza
Kilobyte KB 2^10 1.024 10^3 1.000 2,4%
Megabyte MB 2^20 1.048.576 10^6 1.000.000 4,8%
Gigabyte GB 2^30 1.073.741.824 10^9 1.000.000.000 7,3%
Terabyte TB 2^40 1.099.511.627.776 10^12 1.000.000.000.000 9,9%

 

Bit & bytes

Come in tutte le attivitá specialistiche , anche nel settore dei computer viene utilizzata una terminologia "esoterica" per identificare elementi tipici dell 'attivitá . Sicuramente bit e bytes sono diventati di uso comune , anche se non sono gli unici termini impiegati .
L' unitá base del sistema binario applicato ai computers é stata denominata bit e indica un elemento di informazione , rappresentabile con una cifra binaria che puó valere 0 o 1 .
Nell' uso comune risulta pratico trattare gruppi di unitá , associate logicamente in blocchi di 8 ; tipicamente un insieme di otto bit prende il nome di byte (plurale bytes) .
Da dove deriva questo termine ?  Si suppone siano nati nei laboratori di ricerca dell' IBM . In inglese bit indica una piccola quantitá ( a little bit = un pochettino , bit of tool =la punta di un utensile) . Dovendo attribuire un nome al gruppo di 8 bit , un ricercatore pensó di chamarlo con un nome che indicasse un pó piú di un bit , ovvero bite (letteralmente = un morso , un boccone) ; per evitare eventulai errori di scrittura e relativa confusione con il bit , cambió poi la i in y  (possibilitá dinamiche della lingua inglese , che é un bit meno fossilizzata della nostra ...) .
Dove occorre utilizzare numeri piú grandi . La tabella seguente riporta alcuni dei termini piú importanti . I termini inglesi sono difficilmente traducibili in italiano . Viene comunque proposta una traduzione comunque ; si consiglia , peró , vivamente di usare i termini originali , per chiarezza e uniformità e per evitare di scivolare nei nazionalismi che finiscono per rendere difficile lo scambio delle idee , sia tecniche che non . (Ad es. il verbo nibble in inglese significa mordicchiare , sbocconcellare , per cui il nibble é un "morso" del byte ; un buon concetto , ma originato da una lingua con una flessibilità diversa dall' italiano ! Noi pensiamo che sia meglio il byte , non tradotto , piuttosto dell' octet dei francesi e che flip-flop sia molto piú pratico di multivibratore astabile . E , in quanto alla "nazionalizzazione" dei termini , provate a chiedere ad un olandese quale é la capitale del suo paese o traducete in italiano blue jeans ...)

Nome (inglese) Nome (italiano) Numero di Bits Significato
bit / digit / flag bit / cifra / segnale 1 un singolo dato binario (che vale 1 o 0)
nibble / nybble   4 un insieme di 4 bits (mezzo byte)
byte / character byte / carattere 8 un insieme di 8 bits
word parola 16 una coppia di bytes
double word / long word parola doppia / parola lunga 32 una coppia di parole (4 bytes)
very long word parola molto lunga 64 una parola composta da 8 bytes

 


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